普羅米修斯將火帶到人間，從此人類無需在黑暗中度過無窮長夜，進入光明與文明的新紀元。而聲學之父克拉尼（Ernst Chladni）的聲音圖形也如同一枚火種，微光成炬、烈焰燎原，帶給現代物理學、生理醫學、哲學、建筑聲學、音樂理論、樂器制造、數學、音流學等諸多領域新的研究視角和方法論的啟發。

在往期文章中，我們講過克拉尼在聲學領域的重要發現：當聲學之父遇到一代梟雄，月光共振了琴弦的兩端 。本期 as 將為您介紹克拉尼圖形（Chladni figure）在數學領域引發的共振。

克拉尼聲音實驗的基本原理來源，是德國物理學家利希騰貝格（Georg Christoph Lichtenberg）的靜電圖實驗（Lichtenberg figures 俗稱：" 閃電花 "）：通過電擊硫磺粉，使絕緣板上的粉末形成樹狀 " 電擊雕刻的花紋 "。

克拉尼受此啟發，在光滑的銅板上均勻地灑滿細沙，于銅板的邊緣緩緩拉動小提琴弓，奇特的一幕發生了，沙子在幾秒鐘內形成了聚散的線條花紋——克拉尼圖形就此誕生，這一刻映照出了隱形的聲音世界。

上：利希騰貝格靜電圖，下：克拉尼圖形與實驗圖。 來源：wikipedia

1787 年，克拉尼完成了第一部聲學著作《關于聲音理論的發現（Entdeckungen über die Theorie des Klanges）》，并在其中記錄了這項實驗的成果，和他繪制的大量曼妙的聲音圖形。

《Entdeckungen u¨die Theorie des Klanges》封面，1787 年，來源：wikipedia

部分克拉尼圖形，來源：《Entdeckungen über die Theorie des Klanges》

當小提琴弓摩擦銅板使其發生彎曲形變直至共振時，板面中有保持靜止狀態的區域和振動狀態的區域，沙子在振動作用下向表面靜止的區域集中，并最終勾勒出變化多樣的節點線。由于彈性板振動的理論在當時尚未出現，所以對聲音圖形的數學描述必須保持定性。帶著這個問題，克拉尼踏上了歐洲巡講的旅程，分享自己的聲學研究并和歐洲各國的學者進行交流學習。

直到 1802 年，克拉尼又一突破性著作《聲學（Die Akustik）》問世，這本書的出現使聲學成為一門獨立的學科，書中包含了對樂器的制作、聲音的產生、傳播與接收理論等全新的聲學領域研究，匯編和評論了他在歐洲巡講中發現的大量聲學相關的研究成果。

《Die Akustik》封面，1802 年，來源：wikipedia

書中克拉尼對于聲音圖形的數學研究有了進一步的發現，他根據平行于兩側的節點線的數量對于矩形板上的圖案進行分類。對于圓形板，他觀察到增加節點線與增加板面的直徑，都可以提高圓形板振動模式的頻率，即出現克拉尼圖形的圓形板表面的振動模式的頻率f 與圖形的直徑n和徑向節點線的數量m之間的關系：

對于平整的圓形板，p 大約是 2，但這個公式也可以用來描述鐃鈸、手鈴和教堂鐘的振動模式，在這類情況下，p 可以從 1.4 到 2.4 不等，其中 C 和 p 是取決于板材性質的系數。英國物理學家瑞利（Third Baron Rayleigh）在 1894 年將這個公式命名為克拉尼定律（Chladni's law）。

但是《聲學（Die Akustik）》一書中仍沒有涉及到如何用公式推導出這些聲音圖形，在書的結尾克拉尼留下了這一懸而未決的數學問題：如何建立這些聲音圖形的數學模型？

1809 年，克拉尼做聲學巡講到達法國巴黎時，極其重視科學的拿破侖獨具慧眼，決定為此項數學研究頒發了 3000 法郎的：" 法國皇家科學院獎金 "，獎勵給 "得出克拉尼聲音圖形中彈性物質表面振動的數學理論，并將該理論與實驗數據進行比較" 的學者。

1816 年，法國數學家索菲 · 熱爾曼（Sophie Germain）以一篇題為《彈性物質表面理論研究（Recherches sur la théorie des surfaces élastiques）》的論文，并因此成為第一位獲得法國皇家科學院獎的女性。

《表面彈性理論研究》封面，1821 年，來源：wikipedia

熱爾曼自 1809 年著手該論題的研究，于 1811 年秋天首次提交了論文，但沒有通過，評審委員會認為 "振動的真正方程沒有建立起來"，盡管 " 提出了巧妙的結果 "。

法國皇家科學院院士、著名數學家拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）在這時提出，解決這個問題需要發明一個新的數學分析分支，這使所有的參賽者望而卻步，最終只剩熱爾曼一人參賽。隨后比賽被延長了兩年，熱爾曼決定再次嘗試，在 1813 年化名 " 勒布朗先生 " 并提交了第二次論文，只為避免因性別而遭受不公的對待，但由于被指出論文中仍充斥著錯誤，尤其是涉及到二重積分的部分，遂未通過評審。緊接著熱爾曼又開始了第三次嘗試，最終于 1816 年 1 月 8 日，以自己作為女性的本名 " 索菲 · 熱爾曼 " 提交了第三篇論文，獲得了特別獎。

索菲 · 熱爾曼最終的方程，來源：《表面彈性理論研究》

事實上嚴格的法國皇家科學院對最終的研究成果仍不滿意。因為雖然熱爾曼推導出了正確的微分方程，但并不能非常準確地預測實驗結果，由于她用于推導方程的假設部分不正確，導致了邊界條件出現錯誤。

在當時的社會環境下，一名女性會因為她的性別，被迫承受來自社會的壓迫與不公。索菲 · 熱爾曼自幼被剝奪了受教育的權利，但也正是她不屈不撓的強大毅力和對數學的極度熱愛與與執著追求，給法國皇家科學院獎增添了熠熠光彩。

數學研究成果至此還沒有達到盡善盡美，這場 " 接力 " 仍在繼續。英國科學家惠斯通爵士（Charles Wheatstone）在 1833 年繼續嘗試使用正弦和余弦函數近似計算克拉尼圖形。他表示，在方形和矩形板面上，無論多么復雜的克拉尼圖形，都是兩組或多組同步平行振動的結果；并且通過簡單的幾何關系，使用了 "運動疊加" 的原理，無需任何深刻的數學分析，成功地預測了特定振動模式應產生的曲線。

德國物理學家基爾霍夫（G. Kirchhoff ）在 1850 年提出了正確的數學模型，將方形板上的克拉尼圖形視為雙諧波算子的特征對（特征值和相應的特征方程）。他還設法解決了圓形板的特殊情況下的克拉尼圖形，由于圓是軸對稱圖形，這個問題更容易處理，然而對于其他形狀的板面，最難解決的就是其帶有自由邊界條件的偏微分方程的特征值問題。

瑞士物理學家沃爾特 · 里茨（Walter Bits）在 1909 年所著的開創性論文中提出了一種計算克拉尼圖形的方法：不直接解決偏微分方程的特征值問題（也沒有通過問題的邊界條件），而是使用能量最小化原則（Prinzip der kleinsten Wirkung）得出計算方程。

里茨的克拉尼圖形數學解法示例，1909 年，來源：Theorie der Tra~nsversalschwinnyungem eiizer quadratischen Platte mit freien Randern

在量子力學中，克拉尼圖形和其中的 "節點形態" 直至今日仍是科學界討論的焦點——因為駐波方程、亥姆霍茲方程和定態薛定諤方程之間存在著等價關系，即粒子在有反射壁的空間中自由運動，這使得人們能夠觀察這種量子臺球（quantum billiards）。

奧地利 - 愛爾蘭物理學家薛定諤（Erwin Schrödinger）曾用克拉尼圖形的數學解法來得出對電子軌道的理解。而在不規則形成的反射壁中，通過振動板對量子混沌進行觀察，"節點形態" 在不同的領域里也是重要的核心：在光場、地震破壞模式、甚至在視覺皮層的模式形成中皆是如此——第 368 次 Wilhelm und Else Heraeus-Stiftung 會議正是探討這些問題。

鑒于這一發展態勢，拿破侖的預言 "如果在克拉尼聲音圖形引申道路的探索方面能取得進一步的發展，將這些成果應用于其他領域也是大有用處的"，再回首，我們依舊折服于拿破侖的遠見卓識。

在這面映照出隱形世界的鏡子里，展現的不僅是奇幻稠迭的聲音畫像，還有曼妙又秩序嚴謹的數學圖景，我們幾乎看不到幾百年的時光已悄然流逝。