史瓦西黑洞、RN 黑洞、克爾黑洞、克爾 - 紐曼黑洞 …… 洞洞有精彩

撰文 | 董唯元

黑洞是科普內(nèi)容里的?？?，諸如 " 時空奇點 "、" 事件視界 "、" 史瓦西半徑 "，這些名詞早已成為愛好者們耳熟能詳?shù)母拍?。可如果說起黑洞內(nèi)部的多層結(jié)構(gòu)，恐怕許多人會感到莫名其妙。黑洞里面連物質(zhì)都沒有，只有嚴(yán)重扭曲的時空而已，怎么會跟雞蛋一樣有分層結(jié)構(gòu)呢？實際上，黑洞不僅有內(nèi)部結(jié)構(gòu)而且還很復(fù)雜，但我們可以從 "0" 開始。

0 糖 0 卡 0 公式

其實，在科普書中經(jīng)常出現(xiàn)的黑洞，只是黑洞家族里最簡單的一種，被稱為史瓦西黑洞。這種黑洞既不帶電也不自轉(zhuǎn)，只有一個物理屬性——質(zhì)量。在如此高度簡化又各向?qū)ΨQ的前提下，當(dāng)然沒機會出現(xiàn)太復(fù)雜的結(jié)構(gòu)。但真實的宇宙中，天體大多具有自轉(zhuǎn)角動量，而且也多多少少帶有一些電荷，黑洞也不應(yīng)例外。當(dāng)描述黑洞的理論模型中加入了自轉(zhuǎn)角動量和電荷之后，一些有趣的結(jié)構(gòu)便出現(xiàn)了。

廣義相對論下的黑洞分類

我們都知道，史瓦西黑洞的結(jié)構(gòu)就是一個叫作事件視界的球面，包裹著球心處的時空奇點，從視界到奇點這部分區(qū)域是不可逆轉(zhuǎn)的單向區(qū)，掉進這個區(qū)域的任何東西都不可避免地走向奇點。有個噱頭感十足的說法：在這個單向區(qū)內(nèi)，時間變成了空間，空間變成了時間。至于這句話具體該如何理解，我們稍后再談。

現(xiàn)在我們讓黑洞攜帶上電荷，即 RN 黑洞，它有內(nèi)外兩層視界，單向區(qū)只存在于兩層視界之間，黑洞所帶的電荷越多，這個球殼狀的單向區(qū)就越薄。而在內(nèi)視界以內(nèi)的區(qū)域則又回到普通時空的樣子，不存在時間維與空間維互換的情形，黑洞中心的奇點就躺在這片普通時空區(qū)域中。

如果黑洞有自轉(zhuǎn)，即克爾黑洞，其視界不再是勻稱的球面，而是類似南瓜的表面，而且這種南瓜皮樣的視界也有內(nèi)外兩層，中間夾著單向區(qū)。此外克爾黑洞比 RN 黑洞還多出兩個界面——外靜止面和內(nèi)靜止面——分別位于外視界之外和內(nèi)視界之內(nèi)。從靜止面到視界的區(qū)域被稱為能層，這個名稱的由來是彭羅斯發(fā)現(xiàn)從這個區(qū)域可以獲取能量。克爾黑洞最有意思的部分是中心不再存在奇點，取而代之的是一個奇環(huán)。

克爾黑洞所展現(xiàn)的結(jié)構(gòu)，基本已經(jīng)達到了復(fù)雜程度的極限，再帶上電荷的克爾 - 紐曼黑洞，并沒有比克爾黑洞的結(jié)構(gòu)復(fù)雜更多，仍然是內(nèi)外兩個能層夾著單向區(qū)的樣子，中間也依然是代表時空奇異性的奇環(huán)。電荷的多少只是為這些結(jié)構(gòu)的具體位置又多增加了一個參數(shù)而已。

史瓦西度規(guī)

至此，我們已經(jīng)大略瀏覽了四種黑洞的結(jié)構(gòu)樣貌，可是我相信大多數(shù)讀者肯定不會滿足于如此泛泛的走馬觀花。為了說得更清楚些，我們先用半分鐘時間認(rèn)識兩個相對論中的物理概念—— " 線元 " 和 " 度規(guī) "。

" 線元 " 可以粗略地理解為時空中臨近兩點的微小間隔，記做 ds。在平直時空中，

或者采用極坐標(biāo)的形式

寫成矢量內(nèi)積的樣子就是

那個夾在中間的 4×4 矩陣，就是 " 度規(guī) "，它顯示著時空的幾何性質(zhì)。平直時空的度規(guī)是簡單的 diag ( -1, 1, 1, 1 ) 對角矩陣，而彎曲時空的度規(guī)，就會變得復(fù)雜起來。

所謂求解廣義相對論方程，其實就是計算出度規(guī)的所有分量。對時空幾何性質(zhì)的所有刻畫，都藏在這個矩陣?yán)铩?/p>

知道了這些，我們就可以根據(jù)一個線元的表達式，來閱讀出時空度規(guī)，繼而揣度時空的樣子。比如，把不自轉(zhuǎn)，不帶電，質(zhì)量為 M 的物體放在極坐標(biāo)原點，它周圍的真空線元表達式是

其中

我們能馬上看出來，這個史瓦西度規(guī)仍然是對角矩陣，但是對比平直時空的樣子，標(biāo)成藍色的 gtt 和 grr 兩個分量顯然有所不同，這兩項就是所有后相對論時代對黑洞研究的起點，rs 就是史瓦西半徑，r=rs 處就是史瓦西黑洞的視界。

當(dāng) s → ∞ 的時候，史瓦西度規(guī)回到了平直時空的樣子，說明在無窮遠處時空彎曲的效應(yīng)逐漸消失。那么在黑洞附近的時空又是如何彎曲的呢？讓我們派出一位冒險者到臨近視界的地方進行考察。三維空間中，冒險者所處的位置是一個點，而四維時空中，由于時間的不斷流逝，即使冒險者靜止不動這個位置仍是一條線，被稱為 " 世界線 "。

黑洞附近的時間膨脹

相對論告訴我們，世界線是個絕對的物理對象，無論從哪個參照系中計算，這條線上的同一段 ds 的長度都必然相同。我們選取兩個特殊的參照系，一個是相對黑洞靜止的參照系，另一個是冒險者自己的隨動參照系。

前一個參照系中，我們照舊使用已經(jīng)提到過的公式來計算冒險者世界線的線元。

其中

，代表沿球面切向位置變化，連同徑向位置變化 dr 一起，給出冒險者的空間坐標(biāo)位置變化。需要注意的是式子中的 dt，它代表站在無窮遠處且相對黑洞靜止的觀者所感受到的時間變化。

在后一個參照系中，冒險者自己相對于隨動參照系沒有任何位置變化，只是單純地經(jīng)歷著時間的流逝，所以線元就簡化成了

其中 dτ 就是冒險者自己所感受到的時間變化。

兩個參照系中冒險者的世界線是同一根，所以

現(xiàn)在，我們命令冒險者懸停，于是 dr 和 dΩ 都是 0，式子就簡化成了

如果懸停的位置滿足 r=1.01rs，就會有 dt≈10dτ，冒險者的時鐘變得好慢！無窮遠處的觀者不得不等上十年，才能看到冒險者長了一歲，這就是引力場所產(chǎn)生的時間膨脹效應(yīng)。如果冒險者此時向遠處發(fā)射一道光，那么等光到達遠處的觀者時頻率已經(jīng)下降為出發(fā)時的十分之一，也就是產(chǎn)生了嚴(yán)重的紅移。

當(dāng)冒險者的位置無限接近 rs 時，時間膨脹也無限接近無窮大。盡管冒險者自己仍然體驗著正常的時間流逝，但在遠處的觀者看來，冒險者的時間已近乎停止，其發(fā)出的光，頻率也無限接近零。也就是說，源自視界處的光，無法將能量傳遞到遠方。忽然想到有那么多電視節(jié)目甚至電臺都樂意取 " 視界 " 做名字，不免讓人感覺 ……

空間維變成時間維

說回物理，我們來看看冒險者穿過視界進入黑洞內(nèi)部之后的情景。也許有人會提出質(zhì)疑：冒險者在視界處已經(jīng)達到了時間膨脹的極限，遠處的觀者即使等到地老天荒宇宙毀滅也無法等來冒險者穿過視界的時刻呀？

小啦，格局小啦。

雖然遠處的觀者在自己所體驗的時間里等不到，但不代表冒險者無法到達。事實上，按照冒險者自己所體驗的時間，他完全可以在有限時間內(nèi)到達并順利穿過視界。當(dāng)然他最好有非常堅硬的鎧甲和非常微小的身軀，以免被潮汐力扯碎。

當(dāng) r＜rs 時，冒險者就進入了單向區(qū)，我們來看看這里的時間與空間是如何互換的。

此時

仍然成立。

為了使冒險者感受到的時間 dτ 是實數(shù)，等號左邊也必須是負(fù)數(shù)，而 r＜rs 時

只能依靠

這項的貢獻。

也就是說，進入視界之后的冒險者，根本無法再懸停在任何地方，他必須不斷靠近黑洞中心，才能感受到時間的流逝?；蛘吒纱嗾f，在遠處觀者參照系中的空間維度 r，與冒險者參照系中的時間維度 τ，建立起了奇妙的對應(yīng)關(guān)系。對冒險者來說，r 不再是個能來回移動的空間維度，而是變成了時間一樣的單向維度。

RN 度規(guī)和克爾度規(guī)

通過前面對史瓦西度規(guī)的了解，我們發(fā)現(xiàn)原來黑洞的視界就出現(xiàn)在度規(guī)的某個分量為零或者發(fā)散的地方。依照這個經(jīng)驗，識別其他類型黑洞的視界，自然也可以手到擒來。僅帶電，不自轉(zhuǎn)的 RN 度規(guī)是這樣的：

其中

確定視界的位置非常簡單，只需要解個小方程

就得到

這就是 RN 黑洞的內(nèi)外兩個視界。

當(dāng) r-＜r＜r+ 時，也就是兩層視界之間的部分，gtt＞0，grr＜0，就出現(xiàn)了空間維 r 變成單向維度的情形。而在 r＜r- 的區(qū)域，gtt＜0，grr＞0，時間維和空間維重新回到普通的樣子。

能夠堅持讀到這里的讀者，估計此時會產(chǎn)生一種幻覺——什么神秘兮兮的時空彎曲，原來也就不過如此嘛！好吧，那讓我們再來看看不帶電，僅帶有自轉(zhuǎn)角動量 J 的克爾度規(guī)。

其中

顯然，這個度規(guī)所刻畫的時空結(jié)構(gòu)遠比史瓦西度規(guī)和 RN 度規(guī)復(fù)雜得多，所以也經(jīng)歷了更長的時間才被計算出來。史瓦西度規(guī)早在 1915 年就被發(fā)現(xiàn)，RN 度規(guī)也在 1916~1918 年間被發(fā)現(xiàn)，而克爾度規(guī)的精確解卻要等到 1963 年。

克爾度規(guī)不僅復(fù)雜而且重要，因為宇宙中的天體都或多或少具有自轉(zhuǎn)角動量，只有克爾度規(guī)才能更準(zhǔn)確地反映這些天體的運動和演化。相較而言，史瓦西度規(guī)和 RN 度規(guī)就顯得過于簡化，甚至遺漏掉了許多真實宇宙中的有趣內(nèi)容。

轉(zhuǎn)動的黑洞可以發(fā)電

在史瓦西度規(guī)和 RN 度規(guī)中，gtt=0 的位置恰好也是 grr → ∞ 的位置，于是這個位置就順理成章地被定義為黑洞的視界?？墒窃诳藸柖纫?guī)中，滿足這兩個條件的位置不再重合。

解 gtt=0 這個方程得到

解這個方程得到

這兩組解對應(yīng)四個界面，應(yīng)該把哪些定義成視界呢？

回憶前面對冒險者旅程的描述，我們可以總結(jié)出兩條結(jié)論：

當(dāng)冒險者懸停在空間某一位置時，他的時間流逝速度在遠處觀者看來正比于，當(dāng) gtt=0 時，遠處觀者所看到的冒險者就徹底靜止了。

在 gtt＜0 的地方，空間維 r 變成了像時間維 t 一樣的單向維度，冒險者無法懸停在空間一點，必須沿 r 方向持續(xù)單向運動。

這兩條對所有時空都是普適的，也可以用來考察克爾度規(guī)。

如果讓冒險者前往一個克爾黑洞，當(dāng)他到達 rE+ 位置的時候，在遠處的我們看來，他就已經(jīng)靜止了，但其實他自己還能繼續(xù)向前，而且即使進入了 r＜rE+ 的區(qū)域，理論上仍然存在逃離的可能性。只有他進入 r＜rH+ 的區(qū)域后，才真正被黑洞捕獲，被不可逆轉(zhuǎn)的拖向 rH- 位置。

所以 rH 才是黑洞的事件視界，而 rE 的位置被命名為靜止面，也叫無限紅移面，在這個位置以降的地方所發(fā)出的光，都無法將能量攜帶到遠方。細(xì)心的讀者也許會問，連光都無法逃離的地方，冒險者又如何能逃離呢？這就跟 rE 至 rH 之間這片區(qū)域的特殊幾何特性有關(guān)了。

在這個區(qū)域，gtt＞0 且 grr＞0，似乎時間維和 r 維度都變成了 " 空間維度 "，為了讓冒險者擁有實數(shù)的時間 τ，必須在線元表達式里找到一個負(fù)數(shù)的貢獻。

就成了唯一可指望的貢獻來源。可見，在 rE 至 rH 間的區(qū)域內(nèi)，Φ 是一個無法停止永遠單向變化的維度。這就是自轉(zhuǎn)的黑洞對周圍的空間所產(chǎn)生的極端拖拽效應(yīng)。

這片時刻轉(zhuǎn)動著的時空被稱為能層，因為其中蘊含著一種特殊的能量，進入這個區(qū)域的的冒險者可以逆著轉(zhuǎn)動方向拋出一個有質(zhì)量的物體，自己就可以獲得許多能量，繼而利用這些能量來逃離出靜止面。這個丟車保帥獲取能量的做法叫作 " 彭羅斯過程 "（Penrose process），是彭羅斯在 1969 年發(fā)現(xiàn)的。

我們知道質(zhì)量就是能量的一種形式，而彭羅斯過程本質(zhì)上就是利用克爾黑洞的能層將質(zhì)量兌換成能量的方法。而且這種能量兌換方式的效率非常高，我們投喂給黑洞的質(zhì)量中，理論上最多可以有 29% 轉(zhuǎn)化為我們獲取的能量。別看這個效率大概跟用煤燒開水的效率差不多，但別忘了我們的分母不是煤炭中的化學(xué)能，而是整坨物質(zhì)的質(zhì)量。

事件視界的形狀

帶有自轉(zhuǎn)角動量 J 和電荷 Q 的克爾 - 紐曼度規(guī)是克爾度規(guī)的一個小小擴展。

可以看出這個度規(guī)與克爾度規(guī)所描述的時空結(jié)構(gòu)基本沒有太多差別，我們同樣可以通過 gtt=0 和這兩個方程找到靜止面和事件視界的位置。

和

這里需要做些補充說明。無論克爾黑洞還是克爾 - 紐曼黑洞，其事件視界的計算結(jié)果都是 rH 為坐標(biāo)參數(shù)無關(guān)的確定值，似乎應(yīng)該是個球面?？蔀槭裁辞懊娼o出的圖像中，把視界畫成南瓜形呢？

其實這也是時空被扭曲后的一種結(jié)果。如果令 r=rH，dt=dr=0，也就是固定住時間，并把位置固定在 rH 處，克爾度規(guī)的線元表達式就變成了

這個表達式顯然不具備球?qū)ΨQ性。

不過，我們也不能粗暴地說這就是冒險者眼中 " 看 " 到的黑洞，因為牽扯到光線傳播路線問題，會使問題更復(fù)雜。我們只能讓冒險者閉上眼睛，躲過光線的欺騙，用手去觸達實際空間位置。由于黑洞處的時空嚴(yán)重扭曲，冒險者會發(fā)現(xiàn)，最初遠處觀者交給他的一個球形 3 維指示圖，在黑洞里會變成扁南瓜的樣子。

問題總比答案多

黑洞有關(guān)的研究課題實在太多太多了，除了頗受關(guān)注的黑洞熱力學(xué)和信息悖論之外，僅時空幾何本身的許多性質(zhì)，至今都是活躍的研究前沿。比如奇點對時空因果結(jié)構(gòu)的破壞，就使許多研究者非常不安：既然無法從理論上消滅它，就非常希望它永遠藏在事件視界之內(nèi)，不要暴露在我們可觸及的時空之中。

然而前面在計算 rH 的時候可以看出，如果 rQ 或者 a 足夠大，也就是電荷或角動量足夠大，那么從數(shù)學(xué)上確實有可能出現(xiàn) rH 無解的情況，對應(yīng)著不存在事件視界的時空結(jié)構(gòu)。倘若如此，奇點就會裸露在我們面前，這是物理學(xué)家們內(nèi)心非?？咕艿膱鼍?。為此彭羅斯提出了 " 宇宙監(jiān)督假說 "（Cosmic censorship hypothesis），認(rèn)為宇宙一定有某種機制來防止裸奇點的出現(xiàn)。至于這種機制到底是什么，至今也沒有特別有力的理論機制。

另外，自從知道黑洞是個超高能量轉(zhuǎn)換器之后，其自身結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，也成了物理學(xué)家們擔(dān)憂的問題。就像生產(chǎn)火藥的車間更容易發(fā)生爆炸一樣，一個進入黑洞的粒子也許會因為偶發(fā)的衰變而獲得巨大的能量，這些能量也許會使粒子自己原地變身成一個小黑洞。如果真有這種過程出現(xiàn)，這個小黑洞也許就會對大黑洞的時空結(jié)構(gòu)造成不可逆轉(zhuǎn)的破壞，甚至導(dǎo)致大黑洞整體結(jié)構(gòu)的徹底崩潰。

對克爾黑洞自身結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的研究是個非常艱深的課題，自 1963 年至今近 60 年時間里進展一直比較緩慢。2022 年 5 月，哥倫比亞大學(xué)和普林斯頓大學(xué)的幾位研究者在一篇長達 912 頁的論文中，終于從數(shù)學(xué)上給出了 a<<rs 條件下克爾黑洞的穩(wěn)定性證明 [ 1 ] 。這篇論文的證明過程還用到了幾位研究者在過去幾年中陸續(xù)得到的二十幾條引理，如果把先前鋪墊引理的論文算在一起，總共有 2100 頁之多！足見這一問題在數(shù)學(xué)上的復(fù)雜程度。

盡管與黑洞相關(guān)的課題都是如此難啃的硬骨頭，但同時這些問題也都關(guān)乎我們這個宇宙最基本的規(guī)律和法則。對這些問題的深入研究，即使無法立刻得到明確答案，也會成為 " 下金蛋的母雞 "，我們會創(chuàng)造更豐富的工具并不斷刷新我們的認(rèn)知。