撰文 | 文蘭（中國(guó)科學(xué)院院士、北京大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院教授）

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什么是悖論

我們給悖論下一個(gè) " 進(jìn)行式 " 的定義：悖論就是導(dǎo)致矛盾但原因不明的推理。

根據(jù)這一定義，一旦矛盾的原因找到了，悖論也就不再是悖論了。另外，矛盾的原因應(yīng)該比較難于察覺(jué)。

這一定義可能與許多文獻(xiàn)中對(duì)悖論的定義不同。筆者主張這一定義。

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理發(fā)師悖論

某村有一理發(fā)師，恰給本村那些不給自己理發(fā)的人理發(fā)。請(qǐng)問(wèn)他給不給自己理發(fā)？

若他給自己理發(fā)，則他是一個(gè)給自己理發(fā)的人。按照他的原則，他應(yīng)該不給自己理發(fā)。矛盾。

若他不給自己理發(fā)，則他是一個(gè)不給自己理發(fā)的人。按照他的原則，他應(yīng)該給自己理發(fā)。也矛盾。

這是一段有名的、非常有趣的推理。由于找不出矛盾的原因，這段推理就被稱(chēng)為 " 理發(fā)師悖論 "。

但真的找不出矛盾的原因嗎？

本文的目的就是說(shuō)明，其實(shí)這一矛盾的原因并不難察覺(jué)，故理發(fā)師悖論不足以稱(chēng)為悖論。

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理發(fā)師悖論的解決

讓我們把理發(fā)師悖論再敘述一遍：

某村存在一理發(fā)師，恰給本村那些不給自己理發(fā)的人理發(fā)。請(qǐng)問(wèn)他給不給自己理發(fā)？

若他給自己理發(fā)，則他是一個(gè)給自己理發(fā)的人。按照他的原則，他應(yīng)該不給自己理發(fā)。矛盾。

若他不給自己理發(fā)，則他是一個(gè)不給自己理發(fā)的人。按照他的原則，他應(yīng)該給自己理發(fā)。也矛盾。

如果這一次還不容易看出矛盾的原因，請(qǐng)注意，第二次陳述時(shí)，把第一次陳述里的第三個(gè)字 " 有 " 換成了 " 存在 "。其他沒(méi)動(dòng)。

這樣一換，是不是比較容易看出矛盾的原因了呢？

是的，應(yīng)該說(shuō)這樣一換就比較容易看出，矛盾的原因是假設(shè)了這樣一個(gè)理發(fā)師的存在。因此， 這一矛盾無(wú)非說(shuō)明，具有這種性質(zhì)的理發(fā)師（即恰給本村那些不給自己理發(fā)的人理發(fā)）在本村不存在罷了。

矛盾的原因找到了，悖論也就不成其悖論了，問(wèn)題也就解決了。

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文字游戲？

但矛盾的原因是怎樣找到的呢？我們把 " 有 " 換成了 " 存在 "。這是不是文字游戲，是不是偷換概念，是不是改變了問(wèn)題呢？

當(dāng)然不是。" 有 " 就是 " 存在 "。把 " 有 " 換成 " 存在 "，沒(méi)有改變問(wèn)題，只是用語(yǔ)更科學(xué)、更醒目，使人注意到，原來(lái)這里隱藏著一個(gè) " 存在 " 的假設(shè)。

假設(shè)，或者說(shuō)前提，對(duì)推理是至關(guān)重要的。知道有假設(shè)，推出矛盾就不會(huì)大驚小怪，無(wú)非說(shuō)明假設(shè)不正確罷了。但若不知道有假設(shè)，推出矛盾就會(huì)無(wú)法解釋?zhuān)鸵@呼為悖論了。因此，千萬(wàn)不要丟失、模糊任何假設(shè)。

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引經(jīng)據(jù)典

按說(shuō)理發(fā)師悖論這樣就解決了。不過(guò)人們可能不太放心，問(wèn)題破解得太容易了：只換了一個(gè)詞 " 存在 "，就啟發(fā)、導(dǎo)致了答案。這個(gè)答案太平淡無(wú)奇了。

為了讓人徹底相信，這個(gè)答案一點(diǎn)也不平淡，問(wèn)題確實(shí)出在存在性上，讓我們引經(jīng)據(jù)典，回顧集合論創(chuàng)始人康托的一個(gè)定理。為此先要回顧一下集合論的幾個(gè)概念：映射、滿射、子集的集。

設(shè) X 和 Y 為兩個(gè)集。所謂一個(gè)從 X 到 Y 的映射 f: X → Y 是指一個(gè)法則，它對(duì) X 中的每一 x，指定 Y 中唯一一個(gè)元素。這個(gè)為 x 指定的唯一元素稱(chēng)作 x 在 f 下的像，記為 f ( x ) 。稱(chēng) X 為映射的定義域，Y 為映射的值域。如果值域 Y 中的每一個(gè)元素都是定義域 X 中某個(gè)元素的像，就稱(chēng) f 是一個(gè)滿射。如圖所示：

我們還需要一個(gè)概念：子集所成的集。設(shè) X 為一個(gè)集。用 P ( X ) 表示集 X 的所有子集所成的集。例如，若 X={1, 2, 3}，則

。

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康托定理

康托定理 對(duì)任何集 X，不存在從 X 到 P ( X ) 的滿射。

證明 任取一個(gè)映射 f: X → P ( X ) 。要證 f 不是滿射。為此令

我們來(lái)證明，不存在 z∈X，使得 f ( z ) =C。

為此用反證法。假設(shè)存在 z∈X，使得 f ( z ) =C。那么，

若 z∉C，則 z∈f ( z ) 。但 f ( z ) =C，故 z∈C。矛盾。

若 z∈C，則 z∉f ( z ) 。但 f ( z ) =C，故 z∉C。也矛盾。

這說(shuō)明不存在 z∈X，使得 f ( z ) =C。故 f 不是滿射，康托定理得證。

康托定理是集合論最早，也最重要的定理之一。這個(gè)定理之優(yōu)美，大概可以代表人類(lèi)的智慧。這個(gè)定理一般放在大學(xué)數(shù)學(xué)系的三年級(jí)課程《實(shí)變函數(shù)論》中講，但它幾乎不用什么基礎(chǔ)知識(shí)，是中學(xué)生可以理解、欣賞的?？低卸ɡ淼年愂鲆话銥?，" 不存在從 X 到 P ( X ) 的一一對(duì)應(yīng) "，但實(shí)際上不存在滿射。不存在滿射當(dāng)然就更不存在一一對(duì)應(yīng)。

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康托定理與理發(fā)師悖論的比較

康托定理與理發(fā)師悖論有什么關(guān)系呢？

我們來(lái)給康托定理一個(gè) " 理發(fā) " 的解釋。用表示該村的人的集。對(duì)每一村民 x，用 f ( x ) 表示村里被 x 理發(fā)的那些人的集，即 x 的 " 顧客集 "。那么康托所考慮的集合

不存在 z∈X，使得 f ( z ) =C。翻譯成理發(fā)的語(yǔ)言就是：

村里不存在這樣的理發(fā)師，恰給本村那些不給自己理發(fā)的人理發(fā)。這是康托證明的一個(gè)深刻的事實(shí)。

讓我們把康托推理的過(guò)程也翻譯成理發(fā)的語(yǔ)言看看：

若 z∉C，則 z∈f ( z ) 。但 f ( z ) =C，故 z∈C。矛盾。（若他給自己理發(fā)，則他是一個(gè)給自己理發(fā)的人。按照他的原則，他應(yīng)該不給自己理發(fā)。矛盾。）

若 z∈C，則 z∉f ( z ) 。但 f ( z ) =C，故 z∉C。也矛盾。（若他不給自己理發(fā)，則他是一個(gè)不給自己理發(fā)的人。按照他的原則，他應(yīng)該給自己理發(fā)。也矛盾。）

可見(jiàn)，理發(fā)師推理就是康托推理。

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評(píng) 述

那么，為什么康托定理與理發(fā)師悖論一個(gè)是定理，一個(gè)是悖論呢？

康托明確寫(xiě)道，這樣一個(gè) z 的存在只是假設(shè)。所以推出矛盾毫不驚訝，而是立即做出結(jié)論：不存在這樣一個(gè) z。

理發(fā)師悖論卻用日常語(yǔ)言的 " 有 " 模糊了科學(xué)語(yǔ)言的 " 存在 "。" 存在 " 換成 " 有 " 以后，就不知不覺(jué)從假設(shè)變成了天經(jīng)地義，于是矛盾無(wú)法解釋?zhuān)闪?" 悖論 "?？梢?jiàn)，我們?cè)谇懊姘?" 有 " 換回成 " 存在 "，確實(shí)不是文字游戲。理發(fā)師悖論的問(wèn)題確實(shí)出在存在性上。

但說(shuō) " 換回 " 對(duì)嗎？誰(shuí)先誰(shuí)后呢？

康托定理（1895），理發(fā)師悖論（1907），康托在先。因此，說(shuō) " 換回 " 是對(duì)的。

康托深刻地證明了，不存在這樣一個(gè)古怪的理發(fā)師。12 年后，理發(fā)師悖論全盤(pán)照收了康托的推理過(guò)程，卻模糊了康托的存在性假設(shè)，致使矛盾無(wú)法解釋?zhuān)斐?" 悖論 "。

這不像個(gè)惡作劇嗎？

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關(guān)于羅素悖論

讀者可能知道羅素悖論，聽(tīng)說(shuō)過(guò) " 理發(fā)師悖論是羅素悖論的通俗版 " 的說(shuō)法。如上所述，理發(fā)師悖論幾乎是對(duì)康托定理的一個(gè)惡作劇。那么羅素悖論呢？

這個(gè)問(wèn)題留給讀者追蹤、思考最好。但急于知道答案是人類(lèi)的優(yōu)良天性，所以也簡(jiǎn)單說(shuō)明一下：羅素悖論（1902）顯然受到了康托定理的啟發(fā)，但它與理發(fā)師悖論有很大的不同。它的假設(shè)隱蔽得多，以致當(dāng)時(shí)的集合論無(wú)法察覺(jué)。當(dāng)然該假設(shè)最終還是被后來(lái)的集合論徹底破解了，所以羅素悖論早已不再是悖論了。但羅素悖論極大地刺激了當(dāng)時(shí)的集合論，對(duì)集合論的進(jìn)步有重大的意義。

【后記】其實(shí)，像理發(fā)師悖論這樣易于破解的 " 悖論 " 可以要多少有多少，都是對(duì)康托定理的惡作劇。比如 " 恰愛(ài)那些不愛(ài)自己的人 "，" 恰恨那些不恨自己的人 "，" 恰表?yè)P(yáng)那些不表?yè)P(yáng)自己的人 "，" 恰批評(píng)那些不批評(píng)自己的人 "，" 恰修理那些不修理自己的機(jī)器人 "，" 恰引用那些不引用自己的書(shū) "，等等等等。理發(fā)作為這些 " 反身及物動(dòng)詞 " 中的一個(gè)只是特別生動(dòng)形象罷了。